\require{AMSmath}

Sin of cos?

Hallo,

Bij ò(sinxcosx)dx heb ik met de substitutiemethode gewerkt. Zowel als ik u = sin x en u = cos x gelijkstel, kom ik uit, maar wel 2 verschillende oplossingen. Hoe weet je nu welkeen het is?

Alvast bedankt,
Feline

Feline
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 2 juni 2011

Antwoord

Als we uitgaan van u=sinx is du/dx=cosx dus du=cosx.dx
Dit levert de integraal òsinxcosxdx = òu.du = ¹/₂u² +C1 = ¹/₂sin²x +C1

Als we uitgaan van u=cosx is du/dx=-sinx dus -du=sinx.dx
Dit levert de integraal òsinxcosxdx = -òu.du = -¹/₂u² + C2= -¹/₂cos²x +C2

nu is sin²x+cos²x=1 ofwel ¹/₂sin²x + ¹/₂cos²x = ¹/₂
Dus ¹/₂cos²x is te schrijven als ¹/₂ - ¹/₂sin²x

aangezien de eerste en de tweede versie aan elkaar gelijk moeten zijn, moet gelden dat:
¹/₂sin²x +C1 = -¹/₂cos²x +C2 Û
¹/₂sin²x +C1 = -(¹/₂ - ¹/₂sin²x) + C2 Û
C1 = C2 - ¹/₂

Dus het enige verschil in oplossingen zit em in de integratieconstantes.
Daar merk je wel wat van bij sec-primitiveren. Maar als je echt met integratiegrenzen gaat werken (dus echt iets wilt uitrekenen) dan maak je feitelijk geen gebruik meer van die integratieconstantes.

groeten,
martijn

mg
donderdag 2 juni 2011

©2001-2024 WisFaq