Het probleem is dat als je 1/cosx ziet als toepassing van de t-formules, je uitkomt op de integraal van 2/(1-t2) in plaats van 1/(1-t2). Ik weet wel dat het op jouw manier gewoon klopt, maar het moet toch ook lukken via de t-formules! Meer zelfs, het lukt met de t-formules als je een bepaalde integraal als opgave hebt (omdat de factor 2 dan opgevangen wordt met de aanpassing van de grenzen), maar bij een onbepaalde integraal heb ik nog steeds een probleem.
Alvast bedankt voor de inspanning. Hopelijk zie je mijn probleem en kan je het bovendien oplossen.
pepijn
pepijn
Docent - zondag 24 oktober 2010
Antwoord
Pepijn, Door de substitutie t=tan(1/2x) vind je dat òdx/cosx=ò2dx/(1-t2). Het is essentieel dat deze gelijkheid alleen geldt voot t=tan(1/2x). De gelijkheid òdx/cosx=òdx/(1-t2) geldt alleen voor t=sinx. Als je dus in de eerste afleiding voor t iets anders neemt, b.v. t=sinx, kriig je de oorspronkelijke integraal niet terug. Voor een bepaalde integraal worden de grenzen meegenomen, overeenkomstig de gebruikte substitutie. Als je b.v.neemt de òdx/cosx,x loopt van 0 naar p/4,geeft de substitutie t=tan(1/2x) de grenzen voor t, en wel t loopt van 0 naar Ö2-1 en de integraal geeft als uitkomst ln(Ö2/(2-Ö2). De substitutie t=sinx geeft als grenzen t=0 en t=1/2Ö2, en de òdt/(1-t2) geeft als uitkomst 1/2ln(T/N) met T=1+1/2Ö2 en N=1-1/2Ö2. Dat deze uitkomsten dezelfde zijn is eenvoudig aan te tonen. Als je verder nog vragen hebt hoor ik het wel.
Dit is een reactie op vraag 63342 
