Projectieve Meetkunde: vinden van projectiviteitscentrum
Stel: gegeven zijn vijf punten van een kegelsnede. Hoe kun je dan m.b.v. projectieve waaiers een raaklijn construeren in één van de vijf punten? Ik weet dat je dan eerst het projectiviteitscentrum nodig hebt, maar hoe construeer ik die?
Alvast bedankt!
Wilma
Student hbo - zaterdag 22 mei 2010
Antwoord
Noem de vijf punten A,B,C,D,E. Allereerst: je kunt de raaklijn in A construeren door de stelling van Pascal toe te passen op zeshoek ABC-DAE; maar dat wist je misschien al, en het is niet wat je vraagt. Met behulp van projectieve waaiers gaat het als volgt: De kegelsnede bestaat uit de punten x.j(x) waarbij x de lijnenwaaier A doorloopt, en j de projectiviteit is van lijnenwaaier A naar lijnenwaaier B die aan AC toevoegt BC, aan AD toevoegt BD, en aan AE toevoegt BE. Laat P het Pappuspunt zijn van deze projectiviteit, dus construeer P als het snijpunt van AC.j(AD)-AD.j(AC) en AE.j(AD)-AD.j(AE). Alle verbindingslijnen x.j(y)-y.j(x), met x en y in de lijnenwaaier A, gaan door P. Dus men construeert bij x de beeldlijn j(x) door, met een lijn y waarvan je j(y) al kent, x.j(y)-P te snijden met y en het snijpunt te verbinden met B. Dan is AP de gevraagde raaklijn (, en j(AP)=AB en j(AB)=BP).
