\require{AMSmath}

Maximum en supremum

Voor mijn examen wiskunde moet ik kunnen bewijzen dat dat het maximum van een verzameling ook het supremum van die verzameling is.

Lylon
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 28 december 2002

Antwoord

Je moet even precies de definities van deze termen terug roepen. Het maximum van een verzameling getallen is het grootste getal in die verzameling.
Is de verzameling eindig dan is er altijd een grootste bij, maar een oneindige verzameling heeft niet altijd een grootste element.
Voorbeeld : V = {1/2; 2/3; 3/4;...}.

Het supremum Sup(V) van een verzameling van getallen V is de kleinste bovengrens van V. ( b is een bovengrens van V als voor ieder element v van V geldt: v b.) Een verzameling V is (naar boven) begrensd als er minstens één bovengrens is.

Een fundamentele stelling over de reële getallen zegt: iedere begrensde verzameling heeft een supremum.
Bij de verzameling V hierboven is het supremum Sup(V) = 1.
Om te bewijzen dat een getal S het supremum van V is moet je 2 dingen bewijzen:

1. S is een bovengrens dwz v S voor alle v in V
2. Er is geen kleinere boven grens dwz als t < S dan is er minstens één v in V met v > t.

Dus als V een maximum M heeft dan heeft V een supremum, want Sup(V) = M in dat geval.

Maar aan het voorbeeld hierboven zie je dat er soms wel een supremum is maar geen maximum. En dan nog: Als V niet begrensd is dan is er noch het een noch het ander.
Veel succes.

JCS
zondag 29 december 2002

©2001-2024 WisFaq