Er zijn 3 soorten taart. Elk met een andere omtrek en elk met een andere prijs. Men moet in totaal een oppervlakte hebben van 37870. De omtrek van elke soort is gegeven, netzoals de prijs. Ik heb de oppervlakte berekend van elke soort. Hoe kun je de minimum prijs voor die oppervlakte berekenen en hoeveel heb je van elke soort nodig? Kun je dit in een vergelijking of een stelsel zetten? Of hoe los je dit het beste op?
Mathia
2de graad ASO - donderdag 1 oktober 2009
Antwoord
Hallo, Matthias.
Ik ga uit van cirkelvormige taarten met gegeven stralen r1,r2,r3. De prijzen p1,p2,p3 per taart zijn dus ook gegeven, zegt u. Laten we voor het gemak aannemen dat de aantallen x1,x2,x2 niet per se geheel hoeven te zijn, maar wel nietnegatief.
We zoeken nu de optimale aantallen x1,x2,x3, namelijk zodanig dat
x1*p1+x2*p2+x3*p3 minimaal is onder de voorwaarden x10, x20, x30, p*(x1*r12+x2*r22+x3*r32)=37870.
Je kunt dit meetkundig oplossen als volgt:
De deelverzameling van 3 van de punten die aan de voorwaarden voldoen vormen een driehoekig vlak gebied D in het eerste octant. De gelijkekostenvlakken x1*p1+x2*p2+x3*p3=C zijn aan elkaar evenwijdig. Het gelijkekostenvlak met minimale C gaande door een punt van D gaat doorgaans door een van de drie hoekpunten van D (en in bijzondere gevallen door een zijde van D en in één heel bijzonder geval door alle punten van D).
Dus het minimum wordt doorgaans gevonden door slechts één soort taart te kiezen. Alleen indien (p1,p2,p3) toevallig evenredig is met (r12,r22,r32) maakt het niet uit hoe de gekozen aantallen zich verhouden. Als x1,x2,x3 geheel moeten zijn, wordt het een beetje ingewikkelder. Doorgaans kies je dan toch hoofdzakelijk voor 1 soort.
0, x2
3 van de punten die aan de voorwaarden voldoen vormen een driehoekig vlak gebied D in het eerste octant.