\require{AMSmath}

Ontbinden in factoren

Ik heb een tweetal vragen uit ons werkboek waar ik niet inzie hoe men op het antwoord in het boek terecht komt.

Het gaat om: (3x-2)² - (2x+3)²
Som uitgeschreven:
(3x-2)(3x-2) - (2x+3)(2x+3)
Haakjes weggewerkt:
(9x²-12x+4)-(4x²+12x+9)=5x²-24x-5

Dan probeer ik nu de de formule te ontbinden en daar loop ik vast. Met de product/som methode vind ik geen geschikte waarde. Daarom heb ik de som ingevuld met de ABC formule.
Hier kom ik wel goed uit op nulpunten voor x, namelijk :
x₁ = -¹/₅ en x₂= 5

Alleen met deze gegevens weet ik niet hoe ik vervolgens de waarden kan gebruiken om alsnog de ontbinding te voltooien.

Het antwoord van de ontbinding, welke staat in het boek, is (5x+1)(x-5).

Willem
Student universiteit - donderdag 3 september 2009

Antwoord

Dat lijkt me wel een beetje een noodmaatregel. Als je 5x²-24x-5 wilt ontbinden dan zal het toch iets moeten worden als:

(5x + ...)(x + ...) = 5x² + ....

Omdat er 'achteraan' -5 staat ligt het voor de hand dat het iets wordt als:

(5x + 1)(x - 5) = 5x² + ... - 5
of
(5x - 1)(x + 5) = 5x² + ... - 5

Veel keus heb je hier niet en laat nu bij de eerste 5x·-5 + 1·x precies uitkomen op -24x! Wat een geluk...
Dus dat moet kunnen!

Omgekeerd: als x₁=-¹/₅ en x₂=5 de nulpunten zijn van f(x)=5x²-24x-5 dan kan je f schrijven als:

f(x)=a·(x+¹/₅)(x-5)

Die a zal dan toch wel 5 moeten zijn, dus:

5·(x+¹/₅)(x-5)=(5x+1)(x-5)

Zodat het dan toch weer klopt...

Zie eventueel ook Ontbinden in factoren voor een product-som methode voor dit soort veeltermen.

P.S.
Misschien ken je dit merkwaardig product ook wel:
a²-b²=(a+b)(a-b)

In dit geval zou je daarmee (3x-2)²-(2x+3)² kunnen schrijven als:
(3x-2-(2x+3))(3x-2+2x+3)=(x+1)(5x+1)

...en dat gaat dan een stuk sneller en handiger!

WvR
donderdag 3 september 2009

©2001-2024 WisFaq