Hallo, Ik ben al even bezig met het oplossen van een extremumvraagstuk, maar ik geraak er niet uit wijs. Het gaat om het volgende:
Jan en Piet willen naar de herberg gaan. De afstand van hun vertrekpunt in vogelvlucht bedraagt 16km, de afstand rechtstreeks naar de weg toe bedraagt 8km. Piet wandelt over de heide, zo naar de weg richting herberg. Zijn snelheid op de heide is twee maal zo groot als deze op de weg. Piet kiest zijn weg zo, zodat de tijd tot de herberg minimaal is. Jan legt de weg tot de herberg af in vogelvlucht. Hoeveel sneller moet Jan stappen om samen met Piet de herberg te bereiken? (ze vertrekken allebei op hetzelfde tijdstip).
PS: Er hoort ook nog een tekening bij, waarop dit duidelijk te zien is. Hier nog even tekst en uitleg hierover. Het plan is een rechthoekige driehoek, met de rechte hoek links onder. Dit hoekpunt is punt B. De herberg ligt op dezelfde hoogte, horizontaal, naar rechts (punt H). Het punt waar Jan en Piet vertrekken is punt A, op 8km boven punt B. Dit is dus de rechthoekige driehoek. Hopelijk is dit duidelijk genoeg.
Ik ben al uitgekomen, dat Piet een weg moet afleggen, een stuk over de heide en een stuk over de weg. Het stuk over de heide maakt een hoek met de verticale van phi=Bgsin(0,5). Maar ik kan er niet aan uit hoe ik die snelheden ervan moet berekenen. Iemand nuttige tips? Groeten.
Albert
Student Hoger Onderwijs België - zondag 9 augustus 2009
Antwoord
De snelheid op de weg (= 2v) is dubbel zo groot als de snelheid op de heide (= v) |BH| = 13.86 (rechtshoekszijde met |AH|=16 en |AB|=8) Neem op [BH] een punt P zodat |BP| = x en |PH| = 13.86-x De tijd die Piet nodig heeft is dan t = Ö(x2+64)/v + (13.86-x)/2v Deze tijd is minimaal voor x = 4.62 (stel hiervoor de afgeleide van t = 0)
Je kunt nu de tijd van Piet berekenen in functie van de snelheid v. Stel deze tijd gelijk aan de tijd van Jan (= 16/w met w de snelheid van Jan) Hieruit bereken je de verhouding w/v
