Ik weet dat een formule van Euler is: e^i$\theta$ = cos$\theta$+isin$\theta$. dan kan ik uitrekenen dat e^$\pi$i=cos$\pi$+osin$\pi$=-1 en e^-$\pi$i=cos-$\pi$+isin-$\pi$=-1. Bij die laatste kan ik toch ook zeggen e^-$\pi$i = 1/e^$\pi$i? Het klopt in elk geval wel want dat is dan 1/-1 en dat is -1
Mar waarom werkt het niet bij e^(2/3$\pi$i?
e^(2/3$\pi$i = cos 2/3$\pi$ + i sin 2/3$\pi$ = -1/2+1/2√3 i maar e^(2/3$\pi$i = (e^$\pi$i)2/3 = 3√(-1)2=3√1=1
Ik maak vast ergens een denk/rekenfout, maar ik kan maar niet vinden wat ik fout doe Zou u willen helpen?
Elise
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 11 juni 2009
Antwoord
Het gaat fout wanneer je zegt dat x^1/3= 3√x. Bij de reele getallen kan je dat vaak ongestraft doen, maar complex niet meer! De vergelijking x3=1 heeft in het complexe vlak namelijk drie oplossingen, waarvan er slechts een reeel is, en dat is net degene die je kiest met die derdemachtswortel. Wanneer je dus 1^1/3 doet, dan heb je ook drie mogelijke antwoorden, en uit wat je eerder deed, blijkt, welke van de drie juist is.
In je eerst voorbeeld gaat dit 'toevallig' goed, omdat bijvoorbeeld x=1 maar 1 oplossing heeft, ook in het complexe vlak.
Mocht het je nog niet duidelijk zijn, stel gerust een vervolgvraag. Succes!
