Geachte hulpverleners, Gegeven een functie f 2 maal afleidbaar, gedefinieerd op [0,1]. Veronderstel f(0)=0, f(1)=1, f'(0)=f'(1)=0.
Ik moet aantonen dat er een getal x bestaat in [0,1] zodat |f''(x)|=4. Ik staar me tureluurs op de mogelijke grafieken, maar vind geen aanknopingspunt. Graag uw advies, dat me al vaak uitstekend heeft geholpen.
Rita D
Iets anders - maandag 1 juni 2009
Antwoord
Hallo, Rita. Stel dat f" op [0,1] tussen -4 en 4 in blijft (dus exclusief de grenzen -4 en 4). Gebruikt men een Taylorbenadering rond x=0 met een restterm van graad 2, dan ziet men dat f(x) voor alle xÎ(0,1) tussen -2x2 en 2x2 ligt. Gebruikt men een Taylorbenadering rond x=1 met een restterm van graad 2, dan ziet men dat f(x) voor alle xÎ(0,1) tussen 1-2(x-1)2 en 1+2(x-1)2 ligt. Schets de vier bijbehorende parabolen nauwkeurig, en concludeer dat men een tegenspraak krijgt voor x=1/2. Hiermee is het bewijs uit het ongerijmde voltooid!
=4.