\require{AMSmath}

Deelbaarheid en kwadraten

De stelling is:

Als een getal op een 1 eindigt en je vormt een nieuw getal met alle cijfers voor de 1. Wanneer dat nieuwe getal niet deelbaar is door 4, dan heb je niet met een kwadraat te maken. Andersom werkt de stelling niet.

Stelling schijnt te kloppen:
neem 91: haal de 1 weg, je houd 9 over: is niet deelbaar door 4, dus 91 is geen kwadraat.

neem: 111111, haal een 1 weg: je houd 11111 over, is niet deelbaar door 4. 111111 is dus geen kwadraat.

Kan iemand mij hier een bewijs voor laten zien?

Groeten,
Davey

Davey
Beantwoorder - zondag 25 januari 2009

Antwoord

Getallen die uitgaan op een 1 en die een kwadraat zijn zijn van de vorm (10k+1)² of (10k+9)²
(10k+1)²=100k²+20k+1.
Deze getallen zijn zelf 10-vouden+1.
De achterste 1 weghalen betekent dus 1 aftrekken en delen door 10.
We houden dan over 10k²+2k.
We willen nu bewijzen dat 10k²+2k altijd deelbaar is door 4.
Aangezien 10 mod 4=2, is 10k²+2k (modulo 4) gelijk aan 2k²+2k=2(k²+k)=2k(k+1).
Aangezien k(k+1) even is is 2k(k+1) altijd een viervoud.

Voor de gevallen (10k+9)² krijg je
100k²+180k+81.
Een eraf en delen door 10 levert 10k²+18k+8, wat modulo 4 ook gelijk is aan 2k²+2k. Dus ook hier: het voorste stuk is een viervoud.

hk
zondag 25 januari 2009

©2001-2024 WisFaq