De wet van de grote aantallen en de centrale limiet stelling
Is er een link te vinden tussen 'De wet van de grote aantallen' en 'Centrale limiet stelling' of anders geformuleerd waarin verschillen ze?
Central Limiet Stelling gaat er van uit dat de som van onderling onafhankelijke stochasten T = X(1) + ... X(n), voor n voldoende groot, normaal verdeeld is. Verdeling (T) ~ N(µ1, sigma1)
De wet van de grote aantallen zegt dat dat de verwachting van (T/n), voor n voldoende groot, naar µ2 gaat wat de verwachting van de populatie voorstelt.
Klopt het dat * "De wet van de grote aantallen" en "Central Limiet Stelling" bijna gelijk is aan elkaar qua grootte van de parameters µ en sigma, met andere woorden de µ's en sigma zijn dezelfde (op een factor n en wortel n na) * "De wet van de grote aantallen" een geneste vorm is van "Central Limiet Stelling" omdat de laatste "normaliteit" verondersteld terwijl dat NIET het geval is bij "De wet van de grote aantallen"?
Barno
Student universiteit - dinsdag 3 december 2002
Antwoord
Je wilt iets weten over de wet van de grote aantallen (WGA korten we dat af voor het gemak) en de centrale limietstelling (CLS)
Overeenkomst en verschil De overeenkomst is dat beide gaan over het optellen van stochasten X1, X2, X3, ... . Tn is de som van de eerste n stochasten, Tn = X1 + X2 + ... + Xn. Daarbij veronderstellen we dat die stochasten onafhankelijk zijn en dat ze allen de zelfde verdeling hebben.
Neem aan dat die stochasten een eindige verwachting hebben (N.B. dit is een essentieële voorwaarde): E(Xi)=m. Dan zegt de WGA dat het gemiddelde Tn/n naarmate n groter wordt steeds dichter bij de verwachting m zal komen te liggen in de volgende zin: Laat h een klein getal zijn (geeft niet hoe klein, bijv. h=0,00001), de kans dat Tn/n tussen m-h en m+h valt gaat naar 1 als n naar oneindig gaat.
Bijvoorbeeld: als je 10000 dobbelstenen zou rollen dan zal het gemiddelde aantal ogen met grote kans tussen 3,4 en 3,6 liggen. (m=3,5 hier)
De CLS zegt iets over de verdeling van Tn/n rond m. Daarbij wordt aangenomen dat de stochasten Xi eindige variantie hebben, ze hebben dus allemaal dezelfde standaardafwijking s (ze hadden immers allen de zelfde verdeling). De CLS zegt dan dat als we oprekken met een factor Ön dan gaat de verdeling van Tn/n-m naar een normale verdeling met standaardafwijking s.
Met andere woorden: de verdeling van (Tn/n-m)Ön lijkt voor groter wordende n steeds meer op een normale verdeling met verwachting 0 en standaard afwijking s. Of (als we delen door sigma): [(Tn-m)/s]Ön gaat steeds meer op een standaardnormale verdeling lijken.
Voorbeeld: 10000 dobbelstenen. (Voor 1 dobbelsteen, m=3,5; s=(35/12)=ongeveer 2) Tn/n is dan ongeveer normaal verdeeld met m=3,5 en st.afw.s=2/Ön = 0,02. Je kunt dan zeggen dat Tn/n met 95% kans tussen 3,46 en 3,54 zal liggen (het interval (m-2s, m+2s) heeft bij een normale verdeling ongeveer kans 0,95)
Je kunt dus zeker zeggen dat de CLS een verfijning is van de WGA. Maar de WGA heeft grotere algemeenheid, want geldt ook als de variantie niet eindig is.
Je kunt dit natuurlijk ook uitgebreid vinden in de boeken over kansrekening. Bijvoorbeeld het boek "Kansrekening", HG Dehling & JN Kalma. Epsilon Uitgaven Utrecht.
(35/12)=ongeveer 2) 