\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 56455

Re: Parabool, drie rechten en een punt

Bedankt voor uw reactie!

|M'A'| = |M'B'| kunnen we verklaren door de stelling van Thales.

|A'A|=|AF| kunnen we verklaren door het feit dat A een punt van de parabool (meetkundige plaats van punten op gelijke afstand van een punt en een rechte) is.
|B'B|=|BF| kunnen we door dezelfde redenering verklaren.
Bijgevolg liggen A' en B' op de cirkels en wegens de definitie van een raaklijn aan een cirkel raakt de rechte M'A' aan beide cirkels.

Als G nu ook op M'F zou liggen, is de loodrechte stand bewezen wegens de eigenschap in een gelijkbenige driehoek.

Maar waarom ligt G ook op M'F?
Wil u aub daar een hint voor geven?

Bedankt

Evelyn

Evelyn
3de graad ASO - maandag 15 september 2008

Antwoord

Hoi Evelyn,

Prima, je antwoorden op de beide onderdelen voorzien van mijn 'waarom'!

Het punt M' heeft gelijke machten bij beide cirkels, immers M'A' = M'B' (gelijke raaklijnstukken).
Het punt M' ligt dus op de machtlijn van beide cirkels en dat is de rechte door F en G (de snijpunten van beide cirkels).
En dan kan je een eigenschap gebruiken van de 'vlieger' FGBA: de diagonalen FG en AB daarvan staan loodrecht op elkaar.
(De centraal AB staat loodrecht op de machtlijn FG; FG is de gemeenschappelijke koorde).
Voor het bewijs daarvan gebruik je inderdaad de gelijkbenige driehoek FBG, maar ook de gelijkbenige driehoek GAF.

Echter, zonder de eigenschap van machten en machtlijn...
Ik heb zelf nog heel even zitten puzzelen met het zoeken naar relaties tussen hoeken in de figuur.
Ik zie daarvoor niet zo snel een oplossing (helaas).

dk
maandag 15 september 2008

©2001-2024 WisFaq