Hoe kan ik een stelsel parametervergelijking van een rechte opstellen als er 2 coördinaten gegeven worden van twee punten die op de rechte liggen.
...
2de graad ASO - zondag 1 juni 2008
Antwoord
Stel dat de punten A(x1,y1) en B(x2,y2) gegeven zijn. Dit is dan een stelsel parametervergelijkingen van de rechte AB: x = x1 + t·(x2-x1) y = y1 + t·(y2-y1)
Hoe zijn we daar aan gekomen? Wel, merk op dat voor een vast punt P(x1,y1) op een rechte en een veranderlijk punt Q(x,y) op die rechte, er steeds geldt dat de vector PQ, altijd dezelfde is, op een factor na. (Teken dit eens: neem een vast punt P op een rechte en teken verschillende punten Q op de rechte. Teken dan de vectoren PQ. Deze zullen steeds dezelfde richting en aangrijpingspunt hebben.) We noemen daarom deze vector de "richtingsvector" van de rechte, zeg R(r1,r2). Nu geldt dus voor alle Q(x,y) op de rechte, dat de vector PQ gelijk is aan t·(r1,r2), en aangezien PQ = Q-P = (x-x1,y-y1), moet dit dus een stelsel parameter vergelijkingen zijn van de rechte: x - x1 = t·r1 y - y1 = t·r2
Keren we nu terug naar de situatie van daarnet: de punten A(x1,y1) en B(x2,y2) zijn gegeven op de rechte. Natuurlijk kunnen we A laten werken als de P uit de vorige paragraaf. En wat zegt B ons precies? Wel, die legt natuurlijk de richtingsvector van de rechte vast! Dankzij B kunnen we bepalen wat r1 en r2 zijn. Een mogelijke manier is om bijvoorbeeld te eisen dat als t = 1, er moet gelden dat de rechte "bij B zit", dus x = x2 en y = y2. Dit levert op dat r1 = t·r1 = x-x1 = x2-x1, en analoog r2 = y2-y1. Deze eis levert ons dan het stelsel parametervergelijkingen dat ik helemaal in het begin vermeldde. (Merk op dat we even goed hadden kunnen stellen dat de rechte maar "bij B aankomt" als t = 2. Probeer eens een stelsel parametervergelijkingen op te stellen voor die situatie!)
