\require{AMSmath}

Differentiaalvgl maken mbv laplace

Hallo, kan er mij iemand helpen ik probeer al uren een juiste oefening te maken maar telkes ben ik fout wanneer ik kijk in mijn cursus. wie kan er mijn fouten vinden?

1) Bepaal de particuliere oplossing van de volgende DVG

y'' + 2y' = 1+t met y(0) = 3 en y'(0)= 0

hier neem ik de inverse laplace van en Y = de laplace van y

s²*Y + s f(0) + f'+ sY + f(0)= 1/s + 1/s²
dus (s²+s)Y+ 3s + 0+3= 1/s+ 1/s²
dus (s²+s)Y= 1/s + 1/s² -3s -3
Y= (1/s(s²+s)+ 1/s²(s²+s) -3s/(s²+s) -3/(s²+s)
en hiervan moet ik de inverse laplace nemen maar dit komt niet uit (opl y= 23/8+1/4t+1/4t²+1/8e^-2t
was ik goed bezig of waar was ik al mis

dr
Student Hoger Onderwijs België - zondag 1 juni 2008

Antwoord

Dag Dries,

Vooral een paar slordigheidjes zo te zien:

* In het begin neem je niet de inverse Laplace (dat moet je op het einde doen, als je van s terug naar t gaat), maar wel de Laplacetransformatie zelf.

* Je vergeet de factor 2 die bij y' staat.

* De formule voor Laplacetransformatie van een afgeleide bevat mintekens:
L{f"(t)} = s² L{f(t)} - s f(0) - f'(0)
en L{f'(t)} = s L{f(t)} - f(0)

* De f(0) die je noteert is eigenlijk y(0) en de f' die je schrijft is eigenlijk y'(0), maar je hebt dat wel goed vervangen door 3 resp. 0 dus dat is geen probleem.

De Laplacetransformatie zou dan moeten uitkomen op s²Y-3s+2sY-6=1/s+1/s².
Oplossen naar Y geeft Y=(3s+6+1/s+1/s²)/(s²+2s).
Ontbinden in partieelbreuken geeft Y=23/(8s)+1/(4s²)+1/(2s³)+1/(8(s+2))
En de inverse Laplacetransformatie hiervan geeft inderdaad die oplossing y=23/8+... die je gaf.

Bovendien kan je nagaan dat dit klopt door
1) de DVG te controleren (y'(t) = 1/4 + t/2 - 1/4 e^(-2t); y"(t) = 1/2 + 1/2 e^(-2t) dus y"+2y'=1+t)
2) sneller werk: de beginvoorwaarden te controleren (y(0)=23/8+1/8=3; y'(0)=1/4-1/4=0)

Groeten,
Christophe.

Christophe
zondag 1 juni 2008

©2001-2024 WisFaq