Stel de topologie van de aftelbare complementen, T={AÍX|X/A is aftelbaar } È {Æ}
Mijn vraag is nu, stel dat een xÏA, wetende dat elke verzameling A in T dicht is in X, dus xÎcl(A), dat er dan geen rij convergeert naar x in A.
ik heb zo het gevoel dat dit is omdat er geen aftelbare omgevingenbasis voor de rij is, maar ik geraak niet echt verder.
winny
Beantwoorder - donderdag 8 mei 2008
Antwoord
Winny, niet elke verzameling is dicht: elke aftelbare verzameling is gesloten, dus als A aftelbaar is en niet gelijk aan X dan is X\A niet-leeg, open en disjunct van A. Als x een punt is en (xn) een rij met xn ngelijk aan x voor alle n dan convergeert die rij niet naar x: de verzameling O=X\{xn:n in N} is open, x zit er in en de rij blijft er buiten. Je gevoel werkt de verkeerde kant op: juist omdat er geen niet-triviale convergente rijen zijn heeft (als X overaftelbaar is) geen enkel punt een aftelbare omgevingenbasis
