Ik heb een vraag over de volgende gelijkheden: rot(grad r)=0 div(rot F) =0 div(grad r ) = Ñ2r
met r een scalairveld van 3®3met continue tweede orde partiële afgeleiden en voor elk vectorveld F = (P,Q,R): 3®3 met continue tweede orde partiële afgeleiden
Zou u mij kunnen uitleggen hoe deze gelijkheden tot stand komen.
Alvast bedankt Bart
Bart H
Student Hoger Onderwijs België - zondag 9 maart 2008
Antwoord
Dag Bart,
Je werkt de linkerleden best uit met de definitie. Bijvoorbeeld de eerste, je weet dat grad r de vector is met als x-component de partieel afgeleide van r naar x, en analoog y- en z-component. Dus je hebt de vector grad r = (¶r/¶x,¶r/¶y,¶r/¶z).
Bereken dan hiervan de rotor met behulp van de determinantformule. (zie bv formule 5 op deze mathworldpagina). Als je dat doet merk je dat je op nul uitkomt.
De twee andere gaan op dezelfde manier, bij de tweede kom je ook op nul uit, bij de derde kom je exact uit op de definitie van de Laplaciaan Ñ2r.
3®