Ik heb een vraagje: f is een continu, strikt dalende functie op +. Ik moet g(x)=1/xò1/x0f(t)dt, en dan moet ik bewijzen dat f(x)g(x) voor alle x Î +0.
Heeft iemand een idee hoe ik hieraan kan beginnen?
Alvst bedankt,
Jeroen
3de graad ASO - dinsdag 29 januari 2008
Antwoord
Dag Jeroen,
Ben je zeker van de opgave? Volgens mij moet de integraal van 0 tot x lopen, en niet van 0 tot 1/x.
Als dat het geval is, kan je dit met intuïtie doen: g is zo gedefinieerd dat g(x) het gemiddelde geeft van de functie f over het interval [0,x]. Vermits f een dalende functie is, zal het gemiddelde van f over [0,x] groter zijn dan de waarde van f in het punt x.
Of kijk op een figuur: xf(x) is de oppervlakte van een rechthoek met hoogte f(x) en breedte x. Interpreteer dan ook xg(x) (=de integraal uit de opgave) als een oppervlakte, en zie dat deze laatste groter is dan de eerste, waaruit het te bewijzen volgt.
+.
g(x) voor alle x Î 