\require{AMSmath}

Oplossen goniometrische vergelijking

Hallo,

Hoe moet ik $\omega$ berekenen uit de volgende vergelijking:

-180graden = -arctan(10$\omega$) - 2 arctan($\omega$)

Graham
Student hbo - vrijdag 18 januari 2008

Antwoord

We lossen deze vergelijking op dor er de tangens van te nemen. De tangens van -180° = 0 en verder geldt

tan(-arctan(10$\omega$)-2arctan($\omega$)) = -tan(arctan(10$\omega$)+2arctan($\omega$))

Nu weten we dat tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)·tan(b)) en dus tan(2a) = 2tan(a)/(1-tan²(a))

Passen we dit toe op onze vergelijking, dan geldt er dat

-tan(a+2b) = -(tan(a)+tan(2b))/(1-tan(a)·tan(2b)) = -(tan(a) + 2tan(b)/(1-tan²(b)))/(1-tan(a)·2tan(b)/(1-tan²(b)))

Hier bij is a = arctan(10$\omega$) en b = arctan($\omega$) dus tan(a) = 10$\omega$ en tan(b) = $\omega$.

Vullen we dit in dan krijgen we dat

0 = -(10$\omega$ + 2$\omega$/(1-$\omega$²))/(1-10$\omega$·2$\omega$/(1-$\omega$²))
= -(12$\omega$ - 10$\omega$³)/(1-21$\omega$²) = (10$\omega$³ - 12$\omega$)/(1-21$\omega$²)

Dit wil zeggen dat de breuk nul geeft als de teller 0 is of de noemer $\infty$.
1-21$\omega$² = -$\infty$ $\Rightarrow$ $\omega$ = ±$\infty$
1-21$\omega$² = +$\infty$ heeft geen reėle oplssing
10$\omega$³ - 12$\omega$ = 0 = 2$\omega$·(5$\omega$²-6) $\Rightarrow$ $\omega$ = 0 of $\omega$ = ±√(6/5)

Di geeft dus de mogelijke oplossingen. Maar je moet hiermee opletten namelijk tan(a) = 0 geldt immers niet alleen voor -180°, maar ook voor alle gehele veelvouden van -180°. We vullen dus de mogelijke oplossingen in. Voor 0 geeft dit 0, voor +√(6/5) geeft dit -180° en voor -√(6/5) geeft dit 180°.
De enige echte oplossing is dus +√(6/5).

FvS
vrijdag 18 januari 2008

©2001-2024 WisFaq