Ik heb een probleem met het bewijs van convolutie. Het bewijs gaat alsvolgt:
£{f(t)·g(t)}= integraal van 0 tot $\infty$ e^(-st)(integraal van 0 tot t f(u)g(t-u) du)dt =integraal van 0 tot $\infty$ integraal van u tot $\infty$(f(u)g(t-u)e^(-st) dt du =integraal van 0 tot $\infty$(f(u)e^(-su))intgraal van u tot $\infty$(g(t-u)e^(-s(t-u)) dt du En dan nog p= t-u substitueren en dan lukt da wel. Maar de overgaan van de eerste stap naar de tweede begrijp ik niet. Hoe de twee integralen zijn samengevoegd en de grenzen aangepast is mij niet echt duidelijk?
Dank bij voorbaat
Boris
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 10 januari 2008
Antwoord
Dat kan je best zien met een figuur: teken een assenstelsel met t horizontaal en u verticaal. In je eerste uitdrukking integreer je over een gebied, dat gegeven wordt door 0$\leq$t$\leq\infty$ en 0$\leq$u$\leq$t. Dat eerste betekent dat je t-waarden zich op de rechter halfrechte bevinden, het tweede betekent dat je u-waarden zich bevinden tussen de rechten u=0 en u=t. Teken deze beide rechten: de eerste is de horizontale t-as, de tweede is de bissectrice. Het gebied waarover je integreert is dus een driehoek die oneindig ver doorloopt, één achtste van het hele vlak.
Vermits je de integratiegrenzen wil omwisselen, wil je ditzelfde gebied nu uitdrukken door eerst te zeggen welke u-waarden je krijgt, en dan welke t-waarden daarbij horen. Het gebied ligt volledig boven de t-as, dus er geldt dat 0$\leq$u$\leq\infty$. Welke t-waarden horen er bij een willekeurige u-waarde? Dat zijn de t-waarden rechts van de bissectrice, dus t-waarden waarvoor geldt dat u$\leq$t$\leq\infty$. Zo bekom je de integratiegrenzen.
Je kan die grenzen natuurlijk ook bekomen door de ongelijkheden te herschrijven, maar het gaat volgens mij makkelijker met een snelle schets...
