\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 53284

Re: Re: Rationale functie integreren

ik weet niet waar ik jullie kan bedanken! maar bij deze super bedankt voor alle hulp!!!

Ik heb een soort gelijke opdracht als hierboven en opnieuw loop ik weer vast, maar nu ook met het soortgelijken stappen plan als ik net heb heb toegepst op e voorgaande opdracht..

ò(3x-2)/(2x²+2x+5)dx

hier heb ik als eerst weer de splitsing in de noemer ingevoerd en dat resulteert in:
ò(3x-2)/((2x+1)²/2 + 5)dx

met als eerste substitutie t= 2x-1 Û (3t-1/2)/2
en dt=2dx dus 1/2dt = dx

ò((3t-1/2)/2)/((t)²/2+ 5)·1/2dt
geeft
ò((3t-1/2)/2)/(5(t²/10+1))·1/2dt
= 1/2 ·1/2 · 1/5ò (3t-1/2)/((t/Ö10)²+1)dt

en dan een tweede substitutie met u=t/Ö10

maar dit leidt tot hele rare getallen vrees ik...
;aak ik ergens een misstap in mijn berekening? Of doe ik iets volledig verkeerd?

nogmaals bedankt!

Lien
Student universiteit België - zaterdag 1 december 2007

Antwoord

Dag Lien,

Tis graag gedaan hoor :-)

Bij deze oefening gaat het kwadraatafsplitsen fout: (2x²+2x+5), uit de kwadraatterm en het dubbelproduct leid je correct af dat dat iets van de vorm (2x+1)²/2+... moet zijn, maar op die puntjes moet 9/2 staan en geen 5.
Want (2x+1)²/2+9/2=2x²+2x+1/2+9/2=2x²+2x+5. Vermits we graag 'een kwadraat plus een getal' in de noemer hebben, gaan we die noemer 2 buitenbrengen, dus je krijgt
2 ò(3x-2)/((2x+1)²+9)dx

Dan doe je ook iets raars bij je x-t substitutie. Ik veronderstel dat je bedoelt t=2x+1 (niet 2x-1). dt=2dx klopt dan wel, maar je teller (3x-2) heb je niet juist omgezet:
t=2x+1
t-1=2x
x=(t-1)/2
3x-2=3(t-1)/2-2=3t/2-7/2

Doordat je nu die 9 hebt ipv 10 heb je in de volgende substitutie geen wortels meer nodig: met u=t/3 ben je er al. (tenzij natuurlijk ò1/(x²+k²) dx een basisintegraal is die je mag gebruiken, dan is dat niet meer nodig).

Lukt het zo?

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 1 december 2007

©2001-2024 WisFaq