Ik heb volgende opgave: Geen een DV waarvan de oplossing impliciet gedefinieerde functies de algemene oplossing is: y2+2xy=C
Kan er iemand eens helpen met de opgave te vertalen, want er begrijp er niet veel van, en hoe doe ik dan verder?
Alvast bedankt
Andy
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 2 november 2007
Antwoord
Wel, er staat al minstens één keer te veel "oplossing" in de opgave Maar het komt allicht op het volgende neer: normaal krijg je een differentiaalvergelijking (DV), en moet je die oplossen. Bijvoorbeeld je krijgt y'=y en je geeft als oplossing y = C e^x. Nu is het omgekeerd: je krijgt een functie en je moet een DV geven die deze functie als oplossing heeft. En nog een verschil: de functie die je krijgt is niet expliciet y=f(x), zoals die y = C e^x, maar wel impliciet, dus enkel een gelijkheid waarin zowel x als y staan.
Oja, je weet ook uit de theorie dat een differentiaalvergelijking van n'de orde, een n-dimensionale oplossingsverzameling heeft. Concreet uit zich dat in het feit dat in de oplossing van een tweede orde DV zonder randvoorwaarden, er altijd twee constanten staan, bijvoorbeeld y"+y=0 heeft als oplossing y=C1cos(x)+C2sin(x). In een eerste orde DV zonder randvoorwaarden staat één constante (zie bv y = C e^x, of de opgave die je nu geeft). Je zoekt dus een eerste orde DV.
Om die te bekomen zou ik zeggen: leid het gegeven y2+2xy=C eens (impliciet) af naar x: 2yy'+...=0 Dit zal je de gevraagde DV geven, die je dan nog een beetje kan structureren en in een meer klassieke vorm schrijven. Als het goed is zou je iets moeten kunnen uitkomen als y'=-y/(x+y).
