In een aquarium met overloop wil ik water verversen. Bestaat er een formule, die ik kan gebruiken om de hoeveelheid vers water in de tank te berekenen, als ik met de tuinslang water toevoeg en het teveel aan water gewoon laat overlopen? Rekening houdend met het feit dat ik bij elke liter ik toevoeg, een bepaalde hoeveelheid reeds ververst water ook mee laat wegstromen via de overloop.
hartwi
Iets anders - donderdag 4 oktober 2007
Antwoord
Hallo, Hartwin, Stel dat het aquarium A liter vervuild water bevat, met oorspronkelijk x percent vervuiling, en dat de tuinslang B liter vers water per seconde toevoegt, terwijl de overloop B liter (steeds minder vervuild) water per seconde afvoert. Laat y(t) de hoeveelheid vervuilende stof zijn, in liters (dat is kubieke decimeters), t seconden na aanvang van het proces; dus y(0)=A·x/100, en de hoeveelheid vervuilende stof per liter is y(t)/A. In een klein tijdsinterval van $\Delta$t seconden komt er B·$\Delta$t liter schoon water bij en verdwijnt er (B·y(t)/A)·$\Delta$t liter vervuilende stof. Dus y(t+$\Delta$t) = y(t) - (B·y(t)/A)·$\Delta$t is de hoeveelheid vervuilende stof $\Delta$t seconden na tijdstip t. Hieruit volgt (y(t+$\Delta$t) - y(t))/$\Delta$t = - (B·y(t)/A), of anders genoteerd $\Delta$y/$\Delta$t = -(B/A)·y(t). Na limietovergang voor $\Delta$t $\to$ 0 vinden we de differentiaalvergelijking y'(t) = -(B/A)·y(t), of anders genoteerd: dy/dt = -(B/A)·y. Door scheiden van de variabelen komt er dy/y = -(B/A)·dt, en na integreren volgt ln(y) = -(B/A)·t + C, waarbij C een integratie-constante is. dan vinden we vervolgens y = D.exp(-(B/A)·t) met D =exp(C), ofwel, anders genoteerd, y(t) = D·e-(B/A)·t. Omdat dan volgt y(0)=D, terwijl we weten y(0)=A·x/100, vinden we tenslotte voor de hoeveelheid vervuilende stof de formule y(t) = (A·x/100)·e-(B/A)·t. Per liter (steeds minder vervuild) water is dat (x/100)·e-(B/A)·t liter (of dm3), dus het percentage vervuiling is na t seconden x(t) = x·e-(B/A)·t, met x(0)=x. Ziehier uw formule. Vragen welkom.
