\require{AMSmath}

Vergelijking met absolute waarden

Hoi ik heb een vraagje waar ik niet zoveel van snap.

Bepaal alle reële oplossingen x van |2x-3|+|x-3|=|4x-1|.

Ik heb zo gedacht:

We weten dat: |a|=√a²

dus √(2x-3)² +√(x-3)² = √(4x-1)².

Maar is dit wel juist?

Kevin
3de graad ASO - zaterdag 29 september 2007

Antwoord

De substitutie die je opgeeft wordt bijna uitsluitend in de andere richting gebruikt, dus dat helpt je dan ook niet veel verder.

Een uitdrukking die tussen absolute-waarde-strepen staat is ofwel gelijk aan de uitdrukking zelf (als ze positief is) ofwel aan haar tegengestelde (als ze negatief is).

Maak in 1 tabel het tekenverloop van 2x-3, x-3 en 4x-1. Je zal zien dat de reele as (de waarden voor x) zo uiteenvallen in 4 gebieden. In elk van die gebieden zal je de oorspronkelijke vergelijking kunnen veranderen in een vergelijking zonder absolute-waarde-strepen.

Zo zal bijvoorbeeld in het gebied ]1/4,3/2]
2x-3 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ |2x-3| = -2x+3
x-3 $<$ 0 $\Rightarrow$ |x-3| = 3-x
4x-1 $>$ 0 $\Rightarrow$ 4x-1 = 4x-1

In dat gebied wordt de vergelijking wordt dus:

-2x+3 + 3-x = 4x-1
-7x = -7
x=1

Nu moet je wel nog controleren of x=1 inderdaad in dat gebied ligt, anders zijn onze wegwerkingen van de absolute-waarde-strepen niet geldig geweest. Dat is hier inderdaad het geval, 1 ligt in ]1/4,3/2] en is dus een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking.

Herhaal dit nu ook voor de andere gebieden die je uit je tekenverloop haalt.

cl
zondag 30 september 2007

©2001-2024 WisFaq