Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

 Dit is een reactie op vraag 50436 

Re: Re: Oppervlakte

Dag Oscar ,
Natuurlijk zat ik fout!
We moeten de substitutie : 2x=tg u hanteren
Dan krijgen we bij invullen van de integraal :
I= òòtg2(u) sec3(u)du
I= òsec5(u)du-òsec3(u)du
Met de recursieformules die je dan nog moet bewijzen kom je dan op:
òsex^m(u)du=(1/(m-1))sec^(m-2)(u)tg(u)+(m-2/m-1)òsec^(m-2)(u)du
I=1/4sec3(u)tg(u)+3/4òsec3(u)du-òsec^(u)du
I=1/4sec3(u)tg(u)-1/4òsec3du
I=1/4sec3(u)tg(u) -1/4(1/2sec(u)tg(u)+1/2òsec(u)du
I=1/4sec(u)tg(u)-1/8secutgu -1/8(ln(tg(u)+sec(u) +C

Nu nog de grenzen aanpassen en afwerken:
sec2(u)= 4x2+1 en sec(u)=Ö(1+4x2)
I=1/4 (1+4x2)Ö(1+4x2)-(1/8)2xÖ(1+4x2)-1/8
(ln(2x+Ö(1+4x2)+C

De integraal òsec(u)du kan opgeloste worden met
teller en noemer te vermenigvuldigen met (secu +tgu)
en dan bekomt men:
ò((sec2(u)+sec(u)tg(u))du/(sec(u)+tg(u))
=òd((tg(u)+sec(u))/sec(u)+tg(u)
=ln(tg(u)+sec(u)
Toch wel een moeilijk geval.
De recursieformuiles worden dan gezocht met partiële integratie.
Integralen houden me wel bezig...
Vriendelijke groeten,

Lemmen
Ouder - maandag 23 april 2007

Antwoord

Beste Rik,

Geheel de juiste aanpak. Moest er nog wel een paar kleinigheden uithalen. Uiteindelijk wordt het dus:

8òx2Ö(1+4x2)dx = òsec5(u)-sec3(u)du
= 1/4sec3(u)tg(u) -1/8sec(u)tg(u) - 1/8ln(tg(u)+sec(u)) + C
= 1/2x(1+4x2)1,5 - 1/4x(1+4x2)0,5 - 1/8ln(2x+(1+4x2)0,5) + C

De juistheid is natuurlijk te controleren door weer te differentieren. De vragensteller zal je zeer dankbaar zijn. Groet. Oscar.

os
dinsdag 24 april 2007

©2001-2024 WisFaq