Beste Wisfaq, Ik kom niet uit de volgende opgave: --- Het tweedimensionale gebied G wordt gegeven door: G = {(x,y)€R^2 | x 0 , x^2 y 2-x^2} We beschouwen op G een massaverdeling met massadichtheid p(x,y) = yx, (x,y)€G
Bepaal de massa op G die bepaald wordt door de dubbele integraal op p·dx·dy. ---
Het probleem onstaat vanwege de y in de formule voor de massaverdeling. Zonder deze term zou ik de x simpelweg kunnen vermeniguldigen met (2-2x^2) om deze vervolgens te integreren, maar ik weet niet hoe ik dat nu op moet lossen...
Zouden jullie kunnen helpen?
Jelle
Student universiteit - maandag 21 oktober 2002
Antwoord
G is dus het gebied ingesloten door y=x2, y=2-x2 en de y-as
verder is p(x,y) een tweedimensionale gewichtsfunctie, net zoals in het dagelijks leven de dichtheid r van 3 dimensies x,y en z afhangt. de funcie p is als het ware in kilogram per m2 dus om het totale gewicht M te berekenen, rekenen we de som uit van alle 'bijdragetjes' dm = p(x,y).dx.dy
nou loopt x van 0 (de y-as) tot 1 (het snijpunt van de 2 krommen), en y loopt van de onderste functie y=x2 naar de bovenste functie y=2-x2.
M= ò (ò p(x,y).dy) .dx = ò (ò yx.dy) .dx waarbij de binnenste integraal loopt van ondergrens y=x2 naar bovengrens y=2-x2, en de buitenste integraal van x=0 tot x=1.
De binnenste integraal gaan we dus naar y primitiveren, en daarbij behandelen we x als zijnde een constante: ò yx.dy = [½y2.x]2-x^2x^2= ½(2-x2)2.x - ½(x2)2.x = ½(4-4x2+x4).x - ½x4x = 2x-2x2x+½x4x - ½x4x = 2x-2x2x = 2x1/2 - 2x5/2
Nu dus nog dit resultaat van de binnenste integraal (waarbij we de y 'lekker' zijn kwijtgeraakt) integreren van x=0 tot x=1: ò 2x1/2 - 2x5/2 dx= [4/3.x3/2 - ..... ehh
0 , x^2 
y 
x, (x,y)€G 
