We definiëren ||.||som als volgt: - Voor xÎn definiëren we ||x||som=|x1|+...+|xn| - Als A een n bij n matrix is, definiëren we ||A||som = SOM|Aij| (met de som voor i en j van 1 tot n)
Stel dan A en B twee n bij n matrices, bewijs dan ||AB||som= ||A||som . ||B||som
Zij C een n bij n matrix, die we identificeren met een lineaire afbeelding van n naar n. Dan is ||C(x)||som= ||C||som ||x||som voor alle xÎn
De bedoeling is nu om dit lemma te bewijzen. Ik wou dit doen door A=(aij) te stellen en B=(bij), maar ik zit al dadelijk vast. Daarom mijn vraag: hoe bewijs ik dit? Hopelijk kunnen jullie mijeen antwoord bieden.
Inge V
Student universiteit België - zaterdag 23 december 2006
Antwoord
Dergelijke ongelijkheden zijn steeds gebaseerd op meer fundamentele ongelijkheden. Hier is de basisongelijkheid dat de absolute waarde van een som nooit groter kan zijn dan de som van de absolute waarden (ook wel de driehoeksongelijkheid genoemd, als het aantal termen gelijk is aan twee). Ik geef als voorbeeld aan hoe je het eerste deel kan bewijzen.
||AB|| = SOM(i,j) |(AB)_ij| = SOM(i,j) | SOM(k) A_ik B_kj | (algemeen element van een matrixprodukt) SOM(i,j) SOM(k) |A_ik B_kj| (basisongelijkheid) = SOM(i,j) SOM(k) |A_ik|.|B_kj| (1)
n definiëren we 
= ||A||som . ||B||som 
SOM(i,j) SOM(k) |A_ik B_kj| (basisongelijkheid) 