onze opdracht voor wiskunde bestaat uit het zoeken van een toepassing van een 2e orde differentiaalvergelijking (niet - homogeen). Toepassingsgebieden zijn bv. mechanica, elektriciteit, ... Ik heb me al suf gezocht achter een goede (eenvoudig op te lossen) tweede orde differentiaalvergelijking. We moeten deze nl op 3 manieren uitwerken (methode van de nulmakers, Laplace en stelsels van differentiaalvergelijkingen) Kan iemand mij op weg helpen door een geschikte differentiaalvergelijking te vinden?
bedankt
lies
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 13 december 2006
Antwoord
voorbeelden van niet-homogene 2e-orde dv's zijn v.w.b. mechanica de 'gedwongen trilling', en in de electriciteitsleer de wisselspanning op een circuit waarin zich een weerstand, een condensator en een inductiespoel bevinden.
Om het mechanica-voorbeeld erbij te pakken: Stel je hebt een tafel met daarop een blokje. Het blokje is verbonden aan een horizontale veer, en bovendien ondervindt het blokje wrijving van het tafeloppervlak. Het andere uiteinde van de veer voert een harmonische oscillatie uit. De wrijvingskracht die op het blokje werkt, is evenredig met de snelheid. En de kracht die de veer op het blokje uitoefent is evenredig met en tegengesteld gericht aan de uitrekking (/indrukking) van de veer. In formule: åF=m.a Û Fveer+Fwrijving+Fforcering(t)=m.a Û -k.x - b.x' + Fforcering(t) = m.x" Û m.x"+b.x'+k.x = Fforcering(t) Je mag verwachten dat de forceringskracht van de vorm F0.ei.w.t is (w is hoekfrequentie), maar ook dat de bijbehorende oplossing x(t) van de vorm A.ei.w.t is.
Vul je deze oplossingen in in de dv, dan krijg je (-mw2 + iwb + k)A.ei.w.t=F0.ei.w.t links en rechts wegstrepen van ei.w.t, en herschikken levert je een uitdrukking voor de amplitude A. Deze amplitude is complex en dus van de gedaante x+iy
