\require{AMSmath}

Driehoeksongelijkheid moduli

He,

Kan er mij iemand zeggen hoe je bewijst dat voor alle complexe getallen het volgende geldt:

|z₁+z₂||z₁|+|z₂| (de zgn. driehoeksongelijkheid).

Ik probeerde al de klassieke manier van bewijzen voor deze ongeljkheid, namelijke door te stellen dat -|a|a|a|, maar volgens mij is dat hier niet toepasbaar omdat je complexe getallen nu eenmaal niet kan vergelijken. Weet iemand hoe het dan wel moet ?

Stijn
Student universiteit België - maandag 16 oktober 2006

Antwoord

Bereken van allebei het kwadraat en vergelijk die kwadraten.
Rechts krijg je |z₁|²+|z₂|²+2|z₁||z₂|
Het kwadraat van de linkerkant is gelijk aan het product van (z₁+z₂) en zijn complex geconjugeerde; als je dat uitwerkt komt er |z₁|²+|z₂|²+(z₁·cg(z₂)+cg(z₁)·z₂) (met cg bedoel ik complex geconjugeerde); het stuk tussen haakjes is gelijk aan tweemaal Re(z₁·z₂), daarvan lijkt me duidelijk dat het kleiner dan is of gelijk aan 2|z₁||z₂|.

kphart
dinsdag 17 oktober 2006

©2001-2024 WisFaq