Ik heb een probleem met een oefening over vectorruimten:
"Toon aan dat de vectorruimte voortgebracht door (1,2,3) en (4,5,6) dezelfde is als die voortgebracht door (2,1,0) en (1,1,1). Heb gewoon geen idee hoe ik moet beginnen...help!
R.
Student universiteit België - donderdag 25 mei 2006
Antwoord
Hallo,
Noem V de eerste vectorruimte en W de tweede. Ze hebben allebei duidelijk dimensie twee, dus als je kan aantonen dat V in W zit, dan zijn ze noodzakelijk gelijk. (als je dat dimensie-argument niet wil gebruiken, toon dan aan dat V in W zit en W in V)
Nu, hoe toon je aan dat V in W zit? Wel, probeer (1,2,3) uit te drukken als lineaire combinatie van (2,1,0) en (1,1,1), dus (1,2,3)=a(2,1,0)+b(1,1,1).
En hetzelfde met (4,5,6), dus (4,5,6)=c(2,1,0)+d(1,1,1). Probeer zelf a,b,c en d te vinden.
Waarom is dit nodig: wel, een willekeurig element van V is per definitie gelijk aan A(1,2,3)+B(4,5,6), dus dat is dan A*(a(2,1,0)+b(1,1,1))+B*(c(2,1,0)+d(1,1,1)) = (Aa+Bc)(2,1,0)+(Ab+Bd)(1,1,1) dus is een element van W. Een willekeurig element van V zit dus in W, of nog VÍW.
