\require{AMSmath}

Oppervlakte driehoek uitdrukken in oppervlakte andere driehoek

Mijn vraag is de volgende:

In een driehoek ABC wordt vanaf een derde van een zijde een lijn getrokken naar de overstaande hoek (bijvoorbeeld punt R ligt op 1/3 lengte van B en gaat naar hoek C). Als je dit vanaf elke zijde naar elk hoekpunt doet ontstaat binnenin de driehoek ABC een nieuwe kleiner driehoek (PQR). De vraag is druk de oppervlakte van driehoek PQR uit in die van driehoek ABC.
Wie kan mij helpen met deze vraag......

Groeten Nienke

Nienke
Student hbo - vrijdag 31 maart 2006

Antwoord

dag Nienke,

Wat een mooi probleem! Er zijn vast heel verschillende manieren van oplossen mogelijk. Ik heb het als volgt aangepakt:

Behalve de punten die de zijden van de driehoek in drie gelijke stukken verdelen, heb ik ook de middens van de zijden getekend.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Ik teken eerst de lijnstukken AD, EM2, BF en GM3
Kun je aantonen dat de lijn CH juist door het snijpunt P van AD en GM3 gaat? En ook door het snijpunt R van BF en EM2?
Kun je ook aantonen dat de lijn KM1 juist door het snijpunt Q van AD en BF gaat?
De gezochte driehoek PQR is dus juist gevormd door die drie snijpunten.
Maar dat betekent dat bijvoorbeeld:
AP:PQ:QD = 3:3:1
Stel nu de oppervlakte van de hele driehoek gelijk aan 1.
Noem x de oppervlakte van driehoek PQR.

Als je nu de vierhoek GPRM2 uitbreidt met het driehoekje FRM2, dan vormt dit samen een driehoek die congruent is met PQR.
Dat betekent, dat de oppervlakte van FRM2 gelijk is aan ¹/₆x (waarom?)
Dit kun je nog bij twee andere driehoekjes ook doen.
De oppervlakte van de hele driehoek is dan gelijk aan:
4x + opp(AHPG) + opp(BDQK) + opp(CFRE)

Ga na dat bijvoorbeeld opp(CFR) = 2ˇopp(FRM2) = ¹/₃x.
Ga ook na dat bijvoorbeeld opp(APG) = 4ˇopp(GSM2) = ²/₃x
Uiteindelijk kun je dus van alle vierhoekjes de oppervlakte uitdrukken in x.

Lukt dat verder?
succes

PS: medebeantwoorder FvL noemt nog enkele sites waar jouw probleem (en nog wat generalisaties hiervan) besproken wordt:

• MarionsTheorem
• steinhaus
• TriangleAreasSteinhaus

Anneke
vrijdag 31 maart 2006

Re: Oppervlakte driehoek uitdrukken in oppervlakte andere driehoek

©2001-2024 WisFaq