\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 43936

Re: Re: Re: Re: Integraal irrationale functie

Hoi Peter,

Bedankt voor het helpen zoeken naar de oplossing.
Gisterenavond heb ik het ook nog was zit proberen en heb ik het eens over een andere boeg gegooid. Blijkbaar komen we nu hetzelfde uit!

Ik laat even zien hoe ik ook aan de oplossing ben gekomen:

vette tekst: $\int{}$√(4x²-4x++5)dx

= $\int{}$√((2x-1)²+4)dx

Kleine substitutie: 2x-1=t
dx= ¹/₂ dt
= ¹/₂ $\int{}$√(t²+4)dt

Vervolgens integreren we$\int{}$√(t²+4)dt partieel

f(x) = √(t²+4)
dg(x) = dt
g(x) = t

= t √(t²+4) - $\int{}$t d√(t²+4)
= term - $\int{}$ t²/√(t²+4) dt
= term - $\int{}$ (t²+4-4)/√(t²+4) dt
= t √(t²+4) - $\int{}$√(t²+4)dt + 4 $\int{}$1/√(t²+4)dt

Dit blijkt nu een terugkerende te zijn, dus

$\int{}$√(t²+4)dt = ¹/₂ t√(t²+4)+ 2$\int{}$1/√(t²+4) dt

Dit kunnen we nu invullen in hetgeen dat we hadden voordat we het begonnen partieel te integreren.

Dus we krijgen:

$\int{}$√(4x²-4x++5)dx

= ¹/₂ $\int{}$√(t²+4)dt

= ¹/₂ [1/2 t√(t²+4)+ 2$\int{}$1/√(t²+4) dt ]

= ¹/₄ t√(t²+4) + ln (t+√(t²+4)) +c

We vormen om naar x:

= (2xx-1)/4 √(4x²-4x+5) + ln(2x-1+√(4x²-4x+5)) + C

Zo beiden blijken te hetzelfde te zijn, het zal dus wel juist zijn.

Ik wil U hartelijk bedanken voor de hulp en toffe samenwerking!

Hopelijk tot nog eens!

Vriendelijk groeten

Joris
3de graad ASO - vrijdag 3 maart 2006

Antwoord

Beste Joris!

Gaaf dat je ook op hetzelfde antwoord ben uitgekomen! Je hebt een creatieve oplossing gevonden! Heel veel succes verder en wie weet spreek ik je nog eens!

Vriendelijke groet,

Peter

Peter
vrijdag 3 maart 2006

©2001-2024 WisFaq