Bewijzen dat een oneindig cyclische groep isomorf is
Hallo, ik moet hier een klein bewijs leveren dat als 'G=$<$g$>$' groep is en oneindig is, en cyclisch is, dat deze isomorf is met $\mathbf{Z}$
men definieerd een functie u: Z$\to$G k$\to$gk
ik heb al bewezen dat dit een homomorfisme is, en dat dit surjectief is: voor surjectief was ik niet 100% zeker
Voor alle 'x' element van G bestaat er een k element van Z met x = gk (g is cyclisch) en dus is x=u(k) , hiervoor is de functie surjectief.
Voor de injectiviteit weet ik het niet zo goed, ik moet dus bewijzen dat U(x1)=U(x2) $\Rightarrow$ x1=x2
Hoe zou ik hieraan beginnnen? wan ik heb het gevoel dat ik iets met de kern van U moet doen.
Bedankt
winny
Student universiteit België - vrijdag 6 januari 2006
Antwoord
Inderdaad, je moet bewijzen dat de kern uit alleen het punt 0 bestaat. Stel k is niet 0 en stel u(k)=e. Dan kun je bewijzen dat u(n+k)=u(n) voor alle n en daaruit volgt dan dat G={e,g,g2, ...,gk-1}. Maar dan zou G eindig zijn ... Je bewijs van de surjectiviteit is correct.
