Bepaal de vergelijking van de hyperbool waarvan de asymptotische richtingen 2x+y-3=0 en x-y-5=0 en die de punten (O,3) , (0,1) en (2,0) bevat
Hoe begin je hieraan? Te maken met kegelsnedebundels
Thierr
Student universiteit België - maandag 12 december 2005
Antwoord
Beste Thierry,
Voor elk van de drie punten vind je, als we de gegeven asymptoten respecteren, steeds een andere hyperbool. In het algemeen is een hyperbool uniek bepaald twee asymptoten en één extra punt. Als de overige gevraagde punten er dan 'toevallig' ook op zouden liggen, dan is er geen probleem (dan zijn dat ook geen extra voorwaarden) maar dat is hier niet het geval. Je zal dus géén hyperbool met die asymptoten vinden die alledrie de punten bevat.
In het algemeen kunnen we de vergelijkingen hebben van twee asymptoten: ax + by + c = 0 en dx + ey + f = 0. De vergelijking van de (ontaarde) hyperbool die enkel uit zijn asymptoten bestaat wordt dan gegeven door het product van beide rechten: (ax + by + c)(dx + ey + f) = 0. De bundel van alle hyperbolen met deze twee asymptoten wordt dan gegeven door: (ax + by + c)(dx + ey + f) = k, met k een willekeurige constante. Om de vergelijking van deze hyperbool door een willekeurig punt P te vinden, vul je de coördinaten van dat punt in de vergelijking van de bundel om zo k te bepalen.
In jouw opgave zal elk van de 3 punten een andere k-waarde en dus ook een andere hyperbool opleveren.
