Gegeven zijn 2 kruisende rechten. De vgl van de 1° : x+2y+3z=3 en 2x-y-z=1. De vgl van de 2° : x-y-z=-1 en 4x+2y-z=2. Gezocht is nu de gemeenschappelijke loodlijn van deze 2 rechten. Polynoompje.
Sara R
Student universiteit België - zaterdag 31 augustus 2002
Antwoord
De lijnen worden gegeven als snijlijn van twee vlakken. Stel daarom eerst van beide lijnen een vectorvoorstelling of parametervoorstelling op. Als ik de eerste van het eerste stel vergelijkingen verdubbel en ze vervolgens aftrek, krijg ik 5y + 7z = 5. Stel nu z = 5l, vul dit in om y = 1 - 7l te vinden en na nogmaals invullen tenslotte x = 1 - l.
De snijlijn van de twee eerste vlakken is dus:
(x,y,z) = (1,1,0) + l(-1,-7,5), waarbij je voor l elk getal dat je wilt kunt invullen. Het is je vast bekend dat je hier ook een andere uitdrukking kunt krijgen, dus je eigen resultaat hoeft niet per se aan het mijne gelijk te zijn.
Op de zelfde manier is de snijlijn van de andere vlakken bijv. te geven als (x,y,z) = (1,0,2) + m(-1,1,-2)
Belangrijk is wel dat je in beide lijnen een andere letter voor de parameter kiest!
Neem nu op de eerste lijn een willekeurig punt P met de coordinaten (1-l, 1-7l, 5l).
Neem op de andere lijn een punt Q met coordinaten (1-m, m, 2-2m).
De vector van P naar Q vind je nu door (grof gezegd) Q en P van elkaar af te trekken.
PQ = (-m+l , m-1+7l , 2-2m-5l)
Nu de laatste stap nog zetten; de vector PQ moet loodrecht komen te staan op de twee lijnen, en je weet natuurlijk dat de loodrechte stand geregeld wordt met het inwendig product. Maak dus het inproduct van de zojuist gevonden vector PQ met resp. (-1 , -7 , 5) en (-1 , 1 , -2) gelijk aan 0. Voor de duidelijkheid: dit zijn dus de richtingsvectoren van de twee lijnen.
Je krijgt nu twee vergelijkingen met de twee onbekenden l en m, je lost dat stelsel op en je weet waar P en Q gekozen moeten worden.
