Iemand heeft als oefening de volgende bizarre functie uitgedacht:
lim x®¥ x·sin(x)+x·Öx / Ö(x3+1)+x·e-x
Die x·sinx varieert van -¥ naar +¥ en weer terug, dus in de teller heb ik ±¥ + ¥
In de noemer maakt die x·e-x mij het leven ook niet mooier, omdat dit een onbepaaldheid ¥·0 oplevert.
Hoe pak ik dit monster aan?
Wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 oktober 2005
Antwoord
Voor iedere x geldt: -x+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e-x x·sin(x)+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e-xx+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e-x Als je nu kunt aantonen dat -x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e-x en x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e-x dezelfde eindige limiet hebben dan heeft x·sin(x)+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e-x ook diezelfde limiet. (insluitstelling).
Bekijken we nu -x+x×Öx / Ö(x3+1)+x·e-x. Als we teller en noemer door xÖx delen dan krijgen we in de teller: -1/Öx+1 en deze nadert tot 1 in de noemer krijgen we dan: Ö(x^3+1)/xÖx+e-x/Öx= Ö(1+1/x^3)+e-x/Öx en dit nadert tot 1. De limiet van deze uitdrukking is dus 1. Analoog kun je de limiet bepalen van -x+x×Öx / Ö(x^3+1)+x·e-x