Er zijn 3 vragen in mijn opdrachtenreeks, waar ik niet aan kan beginnen, kunnen jullie mij op weg helpen?
1) Toon aan: als (2n)-1 priem is, is n priem. (met n een natuurlijk getal)
2) Toon aan dat (42n)-1 deelbaar is door 15, voor elk niet-nul natuurlijk getal.
3) Zoek het getal n met de volgende eigenschappen:
(a) n is een niet-nul natuurlijk getal (b) elke priemfactor van n komt maar 1 keer voor in de ontbinding. (c) als p priem is, geldt: p deelt n als en slechts als (p-1) deelt n
Alvast heel erg bedankt!
Joke
Joke
Student universiteit België - donderdag 20 oktober 2005
Antwoord
Dag Joke,
(1) gaat het makkelijkst als je de omgekeerde weg bewijst: als n niet priem is (dus n=km met k,m$>$1) dan is 2n-1 ook nietpriem.
De truc die je dan kan gebruiken is: 2km-1 = (2k)m-1 en gebruik dan dat (a-1) | (am-1)met a=2k
(2) Je hebt de keuze: ofwel bewijs je dat het getal zowel deelbaar is door 3 als door 5, door modulo-argumenten. Ofwel doe je het met inductie: de basisstap is nogal duidelijk, de inductiestap gaat als volgt: 15 | (42n - 1) Dus 42n = 15k + 1 Kijk dan naar n+1, dus naar 42(n+1) = 16·42n = 16·(15k+1) = ...
(3) is heel simpel, probeer maar eens de eerste paar natuurlijke getallen uit, je zal vrij snel een oplossing vinden. Bewijzen dat die oplossing uniek is, lijkt me veel minder evident...
