\require{AMSmath}

Integraal berekenen

òdx/(x²+1)³
Ik herken daarin wel een basisintegraal (die van Bgtg), maar daarvoor staat die exponent 3 natuurlijk 'in de weg'.
Ik probeerde al vanalles te substitueren en pastte ook al partiële integratie toe, maar tot nog toe allemaal zonder succes...
Kan iemand helpen?
Thx!

e
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 17 augustus 2005

Antwoord

Je kunt hier de methode van Ostrogradsky gebruiken.

Voor deze integraal stel je dan

ò^dx/_(x²+1)³= ^{(ax3+bx2+cx+d)}/_(x²+1)² + ò^(px+q)/_(x²+1).dx

Neem nu van de twee leden de afgeleide :

¹/_(x²+1)³ = D(^ax3+bx2+cx+d/_(x²+1)²) + ^(px+q)/_(x²+1)

Werk de afgeleide van de breuk uit en zet nu het rechterlid op gelijke noemer (x²+1)³.

Stel vervolgens de tellers van linker- en rechterlid aan elkaar gelijk.

Je bekomt dan

1 = p.x⁵ + (q-a).x⁴ + 2.(p-b).x³ + (3a-3c+2q).x² + (2b-4d+p).x + (c+q)

Hieruit volgt :
p=b=d=0
q=a=³/₈ en c=⁵/₈

Dus

ò^dx/_(x²+1)³ =

¹/₈.^(3x3+5x)/_(x²+1)² + ³/₈ò^dx/_(x²+1) =

¹/₈.^(3x3+5x)/_(x²+1)² + ³/₈.Bgtg(x) + c

LL
donderdag 18 augustus 2005

©2001-2024 WisFaq