Ik zoek naar een oplossing voor het volgende probleem. Ik moet een 4e orde Taylor benadering maken van y= ln(x) rond x=1 , dit vormt geen probleem. Daarna bereken ik de restterm R5, welke gelijk is aan
=(1/5!) * f^5(x) * (x-1)^5 waarbij f^5 de 5e afgeleide is, in welke 'x' voor 'c' (c= getal waar de restterm rond berekend moet worden).
De volgende opdracht is "Bereken R5 (0,9) en bewijs R5 (0,9) 4 * 10^(-6) Vanaf deze vraag loop ik vast:
A) Wat wordt hiermee bedoeld? B) Hoe kan ik het correct uitrekenen?
R de B
Student universiteit - dinsdag 2 augustus 2005
Antwoord
Hallo,
A) De restterm R5 in een punt 0,9 is de term die nog moet bijgeteld worden bij de vierdeorde Taylorbenadering om het exacte resultaat te kennen van ln(0,9). Natuurlijk kunnen we R5(0,9) niet exact berekenen zonder ln(0,9) uit te rekenen. Wat we wel weten is dat er een formule is voor Rn+1(x), namelijk: Rn+1(x) = (x-a)n+1f(n+1)(cx) / (n+1)! Waarbij die cx gelegen is tussen a en x, en waarbij f(n+1) de n+1 ste afgeleide is van f.
In dit geval is a=1 en x=0,9 en n=4, en cx ligt dus tussen 0,9 en 1. En de vijfde afgeleide van lnx is: 24/x5
We krijgen dus nu R5(0,9) = (-0,1)5 24/120cx5
Om die afschatting dan te bewijzen neem je de absolute waarde van het bovenstaande, en je zoekt voor welke cx de uitdrukking maximaal is: dat is hier voor cx=0,9 want als je deelt door een kleiner getal krijg je een groter. Op die manier komen we uiteindelijk tot |R5(0,9)| (0,1)5 24/120 (0,9)5 = 3.387 *10-6
En dat is onder het gevraagde, dus je kan er zeker van zijn dat |R5(0,9)| 4*10-6...
4 * 10^(-6) 
(0,1)5 24/120 (0,9)5 