Een algemne formule voor de afgeleide van een quotiënt van twee functies wordt alsvolgt uitgewerkt. Als geldt: 1) z(x) = 1/y(x) dan is 2) z(x). y(x) = 1 Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel:
z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0
Deze uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in:
dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx
Met andere woorden, de afgeleide van een quotiënt van twee functies luidt in algemene vorm: d/dx. (1/y) = - (1/x^2) dy/dx
en, als geldt dat y = x^n
d/dx. (x^-n) = -1/x^2n . nx^n-1 = -n x^-n-1
Ik snap hier niks van:
Ik snap wel hoe je de functie z(x) = 1/y(x) definieert als je als volgt te werk gaat: dz/dx 1/x = dz/dx x^-1 dz/dx = -1 x^-1-1 = dz/dx = -1x^2 = dz/dx = -1/x^2: y' = -1/x^2
Maar bovenstaande aanpak kan ik niet volgen. Boven wordt gesteld, als geldt: 1) z(x) = 1/y(x) dan is 2) z(x). y(x) = 1 (dit kan ik volgen!)
Dit kunnen we differentiëren volgens de productregel: z .(dy/dx) + y.(dz/dx) = 0 Dit kan ik niet volgen!
Volgens mij ligt het probleem erin dat ik als de te differentiëren functie altijd de vorm y = f(x) in gedachten heb. Ik weet niet hoe je een uitdrukkingsvorm als z(x). y(x) = 1 diffenrentieer
Deze oplossingswijze vervolgt met: de uitdrukking laat zich oplossen voor dz/dx, hetgeen resulteert in: dz/dx = -z . dy/y dx = - 1/y^2 .dy/dx Dit snap ik ook niet! Je diffenrieert de functie: z(x). y(x) = 1, en je lost het op voor dz/dx. Waarom niet voor dy/dx?
Yara
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 7 juli 2005
Antwoord
Hallo
Je wil dus het volgende bewijzen:
dz(x)/dx = - dy(x)/dx *1/(y(x))2.
Hierbij is z(x)=1/y(x) met y(x) willekeurig. Je kan deze formule bijvoorbeeld gebruiken om de afgeleide te berekenen van 1/(x2+6x) en ook, zoals in jouw voorbeeld, om de afgeleide van 1/x te berekenen. In dit laatste geval is y(x)=x.
Dus z(x)= 1/y(x). Deze laatste vergelijking kan je herleiden tot z(x) * y(x) = 1. Deze uitdrukking gaat men nu differentiëren. Hiermee wil men zeggen: het linkerlid differentiëren naar x en ook het rechterlid differentiëren naar x. Dit mag en verandert niets aan de gelijkheid. Dus
z(x) * y(x) = 1 Þ d(z(x) * y(x))/dx = d(1)/x Þ (de afgeleide van 1 is nul want 1 is een constante) d(z(x) * y(x))/dx = 0 Þ (we leiden z(x) *y(x) af naar x, hiervoor gebruiken we de productregel) z(x) * dy/dx + y(x) * dz/dx = 0
De productregel heb je waarschijnlijk ook gezien in de les, nog voor dit bewijs. Ook hier vind je wat uitleg. Je gaat de laatst bekomen formule oplossen naar dz/dx. Waarom naar dz/dx? Omdat je juist de formule voor de afgeleide van z(x) naar x wil krijgen. Dat is immers wat je moet bewijzen: de formule voor de afgeleide van z(x) naar x. We lossen de vgl dus op naar dz/dx.
Deze laatste formule is precies de formule die je moest bewijzen. Je hebt dus bewezen dat de afgeleide voor alle functies van de vorm 1/y(x) met y(x) een willekeurige functie - 1/(y(x))2 * dy/dx is, met dy/dx de afgeleide van y(x) naar x. Indien je nog twijfelt probeer de formule eens voor z(x)= 1/(x2+6x).
Opmerking: dit is niet de algemene formule voor een quotiënt van twee functies, maar wel de algemene formule voor 1 gedeeld door een willekeurige functie. De algemene formule voor het quotiënt van twee functies is nog wat ingewikkelder.
