\require{AMSmath}

Het bewijzen van twee eigenschappen van ln x

Dat geldt ln(ab)= ln(a)+ ln(b) schijnt bewezen te kunnen worden met het feit dat ln(x)= 1òx dt/t door het volgende te doen:

1òab dt/t = 1òa dt/t + aòab dt/t = 1òa dt/t + 1òb dz/t

waarbij de transformatie z= t/a gebruikt wordt.

Dat geldt ln(1/a)=-ln(a) (1ò1/a dt/t)zou analoog bewezen kunnen worden met een transformatie van z= 1/t met dz/dt= -1/t² wat 1ò1/a dt/t= - 1òa dz/z zou moeten opleveren.

Wat wordt hier nou precies gedaan en hoe?

Mvg.

Lisa

Lisa
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 7 april 2005

Antwoord

Dag Lisa,

Eerst die productregel: je start links met ln(ab), wat volgens de eigenschap die je geeft, gelijk is aan ò₁^ab dt/t. Die splits je dan in twee stukken, een stuk van 1 tot a en een stuk van a tot ab.

In dat eerste stuk herken je meteen de ln(a) weer volgens diezelfde eigenschap. In het tweede stuk doe je de substitutie z=t/a: de grenzen t=a en t=ab worden omgezet in z=1 en z=b, en dt/t wordt dan d(az)/(az) = a dz/(az) = dz/z.
En zo herken je weer die eigenschap, er staat namelijk weer de integraal tussen 1 en b van dz/z, dus dat is ln(b). Want of er nu dz/z of dt/t of dy/y staat, dat maakt niks uit. Maar dus niet dz/t zoals jij schreef...

Laten we eens hetzelfde proberen voor die ln(1/a):
ln(1/a) = ò₁^1/a dt/t
Met de substitutie z=1/t krijgen we dz = -dt/t²
Dus dt/t = -dz/z.
De grenzen t=1 en t=1/a worden nu respectievelijk z=1/1=1 en z=1/(1/a)=a.

Dus: ln(1/a) = - ò₁^a dz/z = - ln(a) want we hebben weer een integraal gevonden tussen 1 en een getal, van dz/z.

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 8 april 2005

©2001-2024 WisFaq