Derdegraads vergelijkingen oplossen zonder cmplexe getallen
Hoi, hoe kun je derde graads vergelijkingen oplossen zonder gebruik te maken van complexe getallen. en toch drie uitkomsten krijgen?
sven
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 22 februari 2005
Antwoord
Beste Sven,
Dit zal (helaas?) niet altijd gaan.
Neem bijvoorbeeld de vergelijking: x3-2x2-x+2 = 0 Je kan de vergelijking ontbinden in factoren: (x-1)·(x2-x-2) = 0 = (x-1)·(x+1)·(x-2) = 0 Er zijn dus 3 reële oplossingen: x = 1 Ú x = -1 Ú x = 2
Neem nu een 2e vergelijking: x3-x2+x-1 = 0 Ook deze kan je ontbinden in factoren: (x-1)·(x2+1) = 0 = x-1 = 0 Ú x2+1 = 0 Dat eerste gedeelte heeft een reële oplossing, namelijk x = 1. Het tweede deel heeft echter enkel complexe oplossingen, namelijk i en -i.
Het hangt dus volledig van de vergelijking af hoeveel reële oplossingen er zijn.