\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 18549

Re: Minimaalpolynoom

Ik zit met het probleem dat mijn cursus niet uitlegt hoe je een minimale veelterm moet berekenen...
De definitie is wel duidelijk, maar dan krijg ik een voorbeeld waar ik niet meekan met de logica ervan...

zij A:R²- R²:(x,y) -(2x, x+y). De matrix A t.o.v de standaardbasis in R² is 2 0
1 1

en de karakteristieke veelterm f_A=(X-2)(X-1) = X²-3X+2. (tot daar geen probleem)
Deze is ook de minimale veelterm van A want er bestaat geen veelterm g van graad 1 met g(M)=0.
Idd : stel g(M)=0 voor g=X-a (aÎR)
dan zou
0 0 = g(M) = 2-a 0
0 0 1 1-a

Daar zit mijn probleem dus, ik heb geen flauw idee van waar die g=X-a komt.
En hoe bereken je dan verder een minimale polynoom voor karakteristieke veeltermen met graad groter dan twee?

hartelijk bedankt!!!

Nathal
Student universiteit België - donderdag 20 januari 2005

Antwoord

Hi Nathalie,

De karakteristieke veelterm bereken je inderdaad met die determinant van de matrix waarbij je op die diagonaal telkens lambda aftrekt. Maar dat was dus geen probleem.

Nu heb je een stelling die zegt dat de minimaalpolynoom g(x) (dit is de laagstegraads, nietnul polynoom waaraan de matrix voldoet, dus g(A)=0); die g dus is altijd een deler van de karakteristieke polynoom.

In dit geval is je karakteristieke polynoom van graad 2, dus ofwel is g van graad 2 (en dus gelijk aan f_A), ofwel is g van graad 0 (maar dat mag niet: g mag niet nul zijn, en als g een constante c ¹ 0 is dan zal g(A) = c ¹ 0), ofwel is g van graad 1, en dus van de vorm X-a.

Je weet dat g(A)=0, dus schrijf een g(A) uit, als je ervan uit gaat dat g(X) = X - a.

Dat wordt dus: 0 = A - a,
maar die A is een matrix, dus in bovenstaande gelijkheid moet a dat ook zijn, dus is dat eigenlijk a*I, dus
a 0
0 a

En de nul in die gelijkheid is ook een matrix, dus
0 0
0 0

Alles samen staat daar dus:

0 0
0 0
=
2 0
1 1
-
a 0
0 a


= -

Dus op de vier plekken moet je een gelijkheid hebben, dat betekent dus dat je vier gelijkheden krijgt:
0 = 2 - a
0 = 0 + 0
0 = 1 - 0
0 = 1 - a
En die derde geeft dus vodden, net als de eerste samen met de laatste.

Samengevat: de minimaalpolynoom heeft niet graad 0, niet graad 1, dus graad 2 en dus is die gelijk aan de karakteristieke veelterm X²-3X+2.

Grtz,
Christophe.

PS merk op dat deze werkwijze nogal omslachtig wordt als je met dimensies hoger dan 2 gaat werken...

Christophe
donderdag 20 januari 2005

©2001-2024 WisFaq