D8, de groep der orthogonale tfs die de regelmatige vierhoek (= vierkant) afbeeldt op zichzelf. Die bestaat dus uit H, V, D, D', e en R. resp. horizontale, verticale, diagonale en nevendiagonale spiegeling, identieke en puntspiegeling.
Nu heb ik eerst een schrijfvraagje: stelt men algemeen de puntspiegeling of maw rotatie voor door R of door R3? Wat is dus eignelijk het verschil?
En nu mn echte vraag. De stelling is: K kar. deelgroep van N en N normaaldeler van G; dan is K normaaldeler van G. Nu geldt dit niet als K gewoon een normaaldeler is van N. We zoeken hiervoor een tegenvoorbeeld.
We nemen in D8 de deelgroep bestaande uit het eenheidselement, de puntspiegeling en de spiegelingen rond de zwaartelijnen? Mijn vraag: Het zwaartepunt van een vierkant, tja da ligt in het midden, maar zwaartelijnen?? Bedoelen ze hiermee de 2 diagonalen of H en V bedoelen?
Aangezien het verder gaat met: Deze deelgroep, noem T is normaaldeler (want index 2), ja want 4 elementen. Dit snap ik. T is dan isomorf met D4, en aangezien D4 bestaat uit V, H, e en puntspiegeling (R of R3??) Dus moeten ze H en V bedoelen met die zwaartelijnen. Als je afgaat op de def van zwaartelijnen voor een driehoek, dan kom je niet ver. Bestaat dan ergens een definitie voor zwaartelijnen van een vierkant of ben ik die gewoon vergeten van vroeger...
Met dank, Jokie
Joke
Student universiteit België - vrijdag 7 januari 2005
Antwoord
Hallo Joke,
D8 bestaat uit acht elementen. Vijf daarvan heb je al een logische naam gegeven, namelijk e, H, V, D en D'. De overblijvende zijn de drie rotaties. Het lijkt mij logisch om die dan R, R2 en R3 te noemen waarbij R dan staat voor (1 2 3 4) dus de rotatie in wijzerzin, R2 is de puntspiegeling en R3 is de rotatie in tegenwijzerzin.
Dan over die zwaartelijnen: ik denk dat daarmee H en V bedoeld worden, vermits die de middens van overstaande zijden verbinden (en dat is ook bij driehoeken het belangrijkste aan een zwaartelijn, dat ze door het midden van een zijde gaan). Bovendien kan je D en D' beter aanduiden met 'diagonalen' of 'bissectrices'.
Dus de deelgroep die je T noemt bestaat uit e,H,V,R2. Hieruit moet je dan weer een deelgroep kiezen die bestaat uit twee elementen en die geen normaaldeler is van D8. Kies dus {e,H} (of {e,V}). En inderdaad geldt dan: * {e,V} is normaaldeler van T (want index 2) * T is normaaldeler van D8 (want index 2) * {e,V} is geen normaaldeler van D8 (want bijvoorbeeld DVD-1 = DVD = H Ï {e,V}
Besluit: normaaldeler zijn is niet transitief.
Merk op dat je ook U={e,D,D',R2} had mogen kiezen, en dan daarbinnen de normaaldeler {e,D} die geen normaaldeler is van D8, want VDV-1 = VDV = D' Ï {e,D}.
