\require{AMSmath}

Eerste orde differentiaalvergelijking

Wie heeft er voor mij een tip om de algemene oplossing te vinden van:

dy/dx=2y/x -x^2*y^2

joshua
Student hbo - dinsdag 21 december 2004

Antwoord

Dit is een differentiaalvergelijking van Bernoulli van graad 2.

Een differentiaalvergelijking van Bernoulli van graad a, a¹0 en a¹1 is van de vorm: dy/dx=A(x)y+B(x)y^a

Oplossingsmethode
Substitueer w = y^1-a
Û dw/dx=(1-a)y^-ady/dx
=(1-a)y^-a(A(x)y+B(x)y^a)
=(1-a)A(x)y^1-a+(1-a)B(x)
=(1-a)A(x)w +(1-a)B(x)
Zo krijg je een algemene lineaire differentiaalvergelijking.

Een algemene lineaire differentiaalvergelijking
is van de vorm dy/dx = A(x)y+B(x)

Een dergelijke differentiaalvergelijking kan je oplossen aan de hand van de multiplicatorenmethode van Lagrange:
Zoek m(x) zodanig dat (m(x)y)'=m(x)(y'-A(x)y)
en bepaal y(x) uit (m(x)y)'=m(x)B(x).

Berekenen m(x):
(m(x)y)'=m(x)(y'-A(x)y)
Û m'y + my' = my'-mA(x)y
Û m'y = -mA(x)y
Û m' = -mA(x)
Dit is een differentiaalvergelijking die je kan oplossen met behulp van de methode van scheiden van veranderlijken
Û ò1/mdm=-òA(x)dx

Bepalen y(x): (m(x)y)'=m(x)B(x)
Û m(x)y = òm(x)B(x)dx
Û y = m(x)^-1òm(x)B(x)dx

Mvg,

Els
woensdag 22 december 2004

©2001-2024 WisFaq