Kunt u mij vertellen wanneer een spiraal linksom en wanneer een spiraal rechtsom draait? Kunnene wij dat in een formule weergeven of zit het anders in elkaar? alvast bedankt, vriendelijke groeten, gert
gert v
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 10 mei 2002
Antwoord
Een spiraal laat zich het makkelijkst beschrijven in "pool-coordinaten". 'Normale' coordinaten x,y ken je wel: x is de x positie, en y is de y-positie. Poolcoordinaten van een punt P zijn coordinaten r,f waarbij r de afstand is tot de oorsprong O, en f is de hoek tussen OP en de x-as.
een spiraal kan dus de vergelijking hebben r=0,1f (maak eens een tabel van enkele waarden r,f en plot deze eens. Dan krijg je een spiraal)
Hoe kun je zien welke kant deze opdraait? Wel, afspraak in de wiskunde is dat "tegen de klok in" de POSITIEVE draairichting is. Aan het voorbeeld (r=0,1f) zie je dat wanneer r groter wordt, f óók groter wordt. Dan draait 'ie in positieve draairichting en dus tegen de klok in.
Wat ook kan, is een spiraal mbv een parameterkromme beschrijven. bijvoorbeeld: x= t.cos(t) y= -t.sin(t)
de afstand van een willekeurig punt P(x(t),y(t)) tot de oorsprong is Ö(x2+y2) = t.Ö(sin2t + cos2t) = t.Ö1 = t
voor de hoek f met de x-as geldt: tanf= y/x = -sin(t)/cos(t) = -tan(t) dus f=-t
dus wordt t groter, dan wordt r groter, en wordt f negatiever. Zodoende draait deze spiraal met de klok mee en dus in de negatieve draairichting.
