Zij S een deelvezameling van een R-moduul M.De deelverzameling RS={som_{k=1 tot n} {r_ks_k} : r_k in R,s_k in S, n geheel getal =1} van M is het kleinste deelmoduul van M dat S bevat, en heet het deelmoduul voortgebracht door S. Het moduul M heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverz S van M bestaat met RS=M. Een moduul voortgebracht door een enkel element heet cyclisch.Wordt hier met 'een enkel element' bedoelt echt één element r in R of wordt er iets anders bedoelt? R zijn de reele getallen. Ik wil graag laten zien dat R*R*..*R=R^n een cyclisch Mat_n(R)-moduul is, maar ik begrijp niet hoe dat moet.
Vriendelijke groeten,Viky
viky
Student hbo - dinsdag 30 november 2004
Antwoord
Hoi Viky,
"Het moduul M heet eindig voortgebracht als er een eindige deelverz S van M bestaat met RS=M." Als nu die eindige deelverzameling S uit slechts één element bestaat, dan noemen we M cyclisch.
Je wil laten zien dat n een cyclisch Mat_n()-moduul is. Dat betekent dus dat je in bovenstaande definitie M moet vervangen door n en dat je R moet vervangen door Mat_n().
En je zoekt dus nu een S die een deelverzameling is van M=n, die uit één element s bestaat, en waarvoor RS=M, of in dit voorbeeld dus: Mat_n() S = n.
Dat is niet zo moeilijk: kies bijvoorbeeld s=(1,0,0,...,0). Als je nu een n*n-matrix met s vermenigvuldigt, is het resultaat de eerste kolom van die matrix. Conclusie: je kan eender welk n-tal bekomen als product van een n*n-matrix met dat gekozen n-tal s=(1,0,..,0). Dus is n een cyclisch Mat_n()-moduul.
=1} van M is het kleinste deelmoduul van M dat S bevat, en heet het deelmoduul voortgebracht door S. 
n een cyclisch 
Re: Een cylcisch R-moduul 