Laat I en J twee idealen zijn in een commutatieve ring R.Ik wil graag de volgende priemideaaleigenschap bewijzen voor priemidealen P,
Als I*J bevat is in P dan is I bevat in P of J is bevat in P.
Vriendelijke groeten, Viky
viky
Student hbo - zondag 7 november 2004
Antwoord
Eén van de definities van priemideaal is de volgende: P is priemideaal in R als en slechts dan als voor alle r,sÎR uit r*sÎP volgt rÎP of sÎP
De eigenschap over priemidealen is veel sterker dan hoe jij ze formuleert nl: Een ideaal P in een ring R is een priemideaal als en slechts dan als voor alle idealen I,J in R, I*J Ì R impliceert dat IÌP of jÌP.
Bewijs
(I)
van links naar rechts
, bewijs uit het ongerijmde Stel IËP en JËP Dan bestaat er een iÎI zodat iÏP en er bestaat een j ÎJ zodat jÏP = i*j Ï P want P is priemideaal. Maar i*jÎI*JÌP We hebben dus een contradictie, het veronderstelde is dus vals.
(II)
van rechts naar links
We moeten bewijzen dat voor een willekeurige a,bÎR, met a*bÎP geldt dat aÎP of bÎP En we vertrekken van het gegeven dat voor alle idealen I,J,P in R, I*J Ì P impliceert dat IÌP of jÌP.
Neem, nu a,bÎR, met a*bÎP Neem I=(a) en J=(b) (dus I ideaal voortgebracht door a en J ideaal voortgebracht door b) I*J=(ab). Aangezien a*bÎP en P is ideaal = (ab) Ì P dan hebben we uit het gegeven van de eigenschap dat ofwel IÌP ofwel JÌP Û (a)ÌP of (b) Ìp Û aÎP of bÎP Bijgevolg is P priemideaal.
i*j Ï P want P is priemideaal. 