Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Contractiestelling

Hallo,

Mijn vraag gaat over de contractiestelling zoals die in mijn boek staat vermeld, in mijn wiskundeboek staat:

Als bij een functie f met een dekpunt d er een p is zo, dat voor de differentiequotiënten geldt |(f(x)-d)/(x-d)| 1 voor elke x op d - p, d + p en van de rij u(n) = f(u(n-1)) ligt een term in het interval d - p, d + p, dan convergeert de rij u(n) naar het dekpunt d.

In het boek staat een rekening van een curve met de lijn y=x en een lijn met rc = -1 die de curve snijdt in het dekpunt. Mijn vraag: hoe gebruik ik deze contractiestelling?

Alvast bedankt,

Marco

Marco
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 24 oktober 2004

Antwoord

Laten we eens een familie van rijen bekijken:
f(x)=ax(1-x)
un+1=f(un)

We kiezen eerst a=1.5, dus f(x)=1.5x(1-x).

Hieronder zie je de grafiek van f en de lijnen met r.c. 1 en -1 in de beide dekpunten.

q29019img1.gif

We bekijken het rechterdekpunt.
In de buurt van het dekpunt ligt de grafiek in het gearceerde gedeelte.
Er is dus een omgeving d-p,d+p zo, dat alle differentiequotienten tussen -1 en 1 liggen.
We zien in onderstaande webgrafiek gedemonstreerd dat de rij voor u0=0.7 naar het rechterdekpunt convergeert.

q29019img2.gif

Nemen we nu a=5, dus f(x)=5x(1-x)

q29019img3.gif

We zien dat de grafiek nu in het andere deel ligt (zie de arcering). Er geldt nu niet dat de differentiequotienten tussen -1 en 1 liggen.
In onderstaande webgrafiek zie je de divergentie gedemonstreerd.

q29019img4.gif

In beide gevallen geldt dat in het linkerdekpunt de grafiek in het deel ligt waarvoor de differentiequotienten in absolute waarde groter zijn dan 1. In beide gevallen geldt dan ook dat het dekpunt x=0 een zogenaamde "afstoter" is.

hk
zondag 31 oktober 2004

©2001-2024 WisFaq