Ik wilde het algemene geval uitwerken omdat ik juist geen tegenvoorbeeld kon vinden.Ik vond dat erg lastig en ik begrijp eigenlijk niet goed hoe ik er een moet vinden.
Groeten,
Viky
viky
Student hbo - dinsdag 5 oktober 2004
Antwoord
Hoi Viky,
Probeer je in dit soort opgaven altijd eerst goed te realiseren wat de verzamelingen waar je naar kijkt nu precies zijn (en dan niet alleen de definitie maar ook wat het in dit geval inhoud): R = $\mathbf{Z}$[x] is de ring van polynomen met gehele getallen als coefficienten (dus niet de verzameling $\mathbf{R}$ van gehele getallen!) I = (2,x) = het ideaal voortgebracht door '2' en 'x' = dit zijn dus precies de polynomen waarvan de constante term even is. In de weergave i = 2a + xb, met a,b $\in$ R, kun je zonder beperking van algemeenheid zeggen dat a $\in$ $\mathbf{Z}$! J = (3,x) = dit zijn nu precies de polynomen waarvan de constante term deelbaar is door drie! M = {ij|i$\in$I,j$\in$J}
Om een ideaal te zijn moet M inderdaad gesloten zijn onder optelling en vermenigvuldiging, anders is het zelfs geen deelring. Nu is het vrij duidelijk dat M wel gesloten is onder vermenigvuldiging (zelfs met willekeurige elementen uit R, dus wat 'de ideaal-eigenschap' betreft zit het wel goed). Het probleem moet hem dus inderdaad in de optelling van twee elementen in M zitten. Probeer dus eerst maar eens wat je kunt doen met de meest eenvoudige voorbeelden: 2·3 = 6 zit in M en 2·x = 2x zit in M, dan zit 2x+6 = 2·(x+3) nog wel in M. Dit is dus nog niet voldoende. De reden is dat de voorbeelden nog slechts uit een term bestaan; zodra je polynomen met meer termen erbij betrekt vindt je al snel wat je zoekt: 2·(x+3)=2x+6 en (x+2)·3=3x+6 zitten in M, maar (2x+6)+(3x+6)=5x+12 zit dat niet (nog makkelijker is om te bewijzen dat het verschil (3x+6)-(2x+6)=x niet in M zit). Het bewijs daarvan mag je nu nog even zelf doen... Met vriendelijke groet,
Guido Terra
P.S. Zoals vaak bij het zoeken van een tegenvoorbeeld is de werkwijze dus: kijk eerst even wat je wel makkelijk kunt bewijzen, zodat je niet gaat zoeken in een richting die niets op gaat leveren (in dit geval: probeer niet te bewijzen dat M niet gesloten is onder vermenigvuldiging, want dat is ie wel). Kijk waar er nog ruimte is om een tegenvoorbeeld te vinden (hier: geslotenheid onder optelling, maar niet met slechts een-terms polynomen (het is namelijk essentieel dat I en J meerdere voortbrengers hebben) en probeer dan de eenvoudigste gevallen. Het door mij voorgestelde tegenvoorbeeld is als jouw uitwerking met a=1,b=0,c=1,d=1 resp. a=1,b=1,c=1,d=0, dat scheelt heel wat rekenwerk ten opzichte van het meest algemene geval...
