Ik wil graag bewijzen dat de matrixring M=Mat_n(R) (met R hier de verz. van reele getallen) geen niet-triviale (tweezijdige) idealen heeft. Dus ik moet laten zien dat de enige idealen de nulring en M zijn.Maar hoe doe ik dat ?
Groeten,
viky
Student hbo - vrijdag 24 september 2004
Antwoord
Dag Viky,
Stel dat je wel een niet-triviaal tweezijdig ideaal hebt. Dus je hebt een verzameling I van n*n-matrices over , met als eigenschap dat als je een element van I (dus zo'n matrix) links vermenigvuldigt met een element van M (dus een willekeurige n*n), je weer uitkomt op een element van I. En hetzelfde voor de rechtse vermenigvuldiging.
Goed, stel nu dat je zo een niet-triviaal ideaal hebt, en kies daarin een element i (niet de nulmatrix). Je weet dan dat er matrices m en p bestaan zodat m*i*p een matrix wordt met overal nullen, behalve op de eerste r plekken op de diagonaal, waar een 1 zal staan. r is hier de rang van i, en r0.
Deze nieuwe matrix zit nu wel in het ideaal I, wegens de definitie van tweezijdig ideaal.
Door andere m en p te kiezen, kan je ook matrices krijgen met overal nullen, behalve op r diagonaalplaatsen (niet noodzakelijk de eerste r, zie je). Bijvoorbeeld voor n=5 en r=2 kan je gaan tot de matrix 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
En dat kan je zo willekeurig doen voor alle diagonaalplaatsen, en je kan eventueel ook tot een matrix komen met minder dan r enen, dat is eigenlijk handiger voor het vervolg. Je kan bijvoorbeeld m en p zo kiezen dat mip volgende matrix wordt: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Al deze speciale matrices zitten dus ook in I. En hun som, dat is de eenheidsmatrix, en die zit dus ook in I... Maar dan heb je dat eender welke n*n-matrix over (noem hem x), te schrijven is als het product van een matrix uit I (nl. de eenheidsmatrix) met een matrix uit M (namelijk x zelf). En dus zit x ook in I. En daarmee is bewezen dat elke matrix x uit M, in I zit, dus dat I=0 of I=M.
, met als eigenschap dat als je een element van I (dus zo'n matrix) links vermenigvuldigt met een element van M (dus een willekeurige n*n), je weer uitkomt op een element van I. En hetzelfde voor de rechtse vermenigvuldiging.
0.